통계적 추정
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- Statistical Estimation; 추정
- 표본에서 얻은 통계량으로 모집단의 모수를 추측하는 통계적 추론 방법
통계적 가설 검정이 세워 둔 주장의 참·거짓을 판단하는 것이라면, 추정은 모수의 값이 얼마인지를 직접 추측한다. 둘이 통계적 추론의 두 축이다.
| 점추정 | 구간추정 | |
|---|---|---|
| 결과 | 하나의 값 | 구간 |
| 예 | 표본평균이 173cm 이므로 모평균을 173cm 로 본다 | 모평균이 171~175cm 사이에 있다고 95% 신뢰수준으로 본다 |
| 장점 | 간결하다 | 오차의 범위와 신뢰도를 함께 준다 |
| 단점 | 얼마나 정확한지 알 수 없다 | 해석이 번거롭다 |
- 불편성(Unbiasedness) — 추정량의 기댓값이 모수와 같다. 이런 추정량을 불편 추정량이라 한다
- 효율성(Efficiency) — 분산이 작다. 불편 추정량이 여럿이면 분산이 가장 작은 것이 좋다
- 일치성(Consistency) — 표본 크기가 커질수록 모수에 가까워진다
- 충분성(Sufficiency) — 모수에 대한 표본의 정보를 남김없이 담는다
표본분산에서 n 이 아니라 n−1 로 나누는 이유가 불편성이다. n 으로 나누면 기댓값이 모분산보다 작아져 모분산을 계속 과소평가하게 된다.
신뢰구간은 구간추정의 결과다. 95% 신뢰수준은 같은 방식으로 표본을 반복해 구간을 만들면 그 가운데 95%가 모수를 포함한다는 뜻이지, 특정한 하나의 구간에 모수가 있을 확률이 95%라는 뜻이 아니다.
- 신뢰수준을 높이면 구간이 넓어진다
- 표본 크기를 키우면 구간이 좁아진다
표준오차(Standard Error, SE)는 추정량의 표준편차, 곧 표본 분포의 표준편차다. 표본평균의 표준오차는
- SE = σ / √n
이다. 모표준편차 σ 를 모르면 표본표준편차 s 를 넣어 s / √n 으로 추정한다.
- 표본평균이 모평균으로부터 얼마나 떨어져(흩어져) 있는지를 나타낸다. 같은 크기의 표본을 반복해 뽑을 때 표본평균이 모평균 주위에 퍼지는 정도다.
- 표준오차가 작을수록 추정치가 모수를 더 정확하게(정밀하게) 반영한다.
- n 이 커지면 √n 에 반비례해 줄어든다. 표본을 4배로 늘리면 표준오차는 절반이 된다.
- 표준오차는 흩어짐의 크기일 뿐 확률이나 신뢰수준이 아니다. "표준오차 95% 는 신뢰구간에 모수의 참값이 포함되어 있음을 나타낸다" 는 틀리다. 95% 는 신뢰수준의 말이고, 표준오차는 신뢰구간을 만들 때 x̄ ± 1.96 × SE 처럼 재료로 쓰일 뿐이다.